线性代数必备知识点

以下是考研数学线性代数主要考点的介绍：

一、向量与线性方程组

向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节，而其后两章特征值和特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。

向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。

这部分的重要考点一是线性方程组所具有的两种形式——矩阵形式和向量形式；二是线性方程组与向量以及其它章节的各种内在联系。

（1）齐次线性方程组与向量线性相关、无关的联系

齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当变量都为零时等式一定成立——印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。

齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：1、有唯一零解；2、有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式中的变量只能全为零才能使等式成立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为零的变量使上式成立；但向量部分中判断向量组是否线性相关、无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系——齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关、无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。

（2）齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系

同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”。经过“秩-线性相关、无关-线性方程组解的判定”的逻辑链条，就可以判定列向量组线性相关时，齐次线性方程组有非零解，且齐次线性方程组的解向量可以通过r个线性无关的解向量（基础解系）线性表示。

（3）非齐次线性方程组与线性表示的联系

非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由列向量组线性表示，使等式成立的一组数就是非齐次线性方程组的解。

二、行列式与矩阵

行列式、矩阵是线性代数中的基础章节，从命题人的角度来看，可以像润滑油一般结合其它章节出题，因此必须熟练掌握。

行列式的核心内容是求行列式——具体行列式的计算和抽象行列式的计算。其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型，主要方法是应用行列式的性质及按行（列）展开定理化为上下三角行列式求解；而对于抽象行列式而言，考点不在如何求行列式，而在于结合后面章节内容的比较综合的题。

矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵各种运算律、矩阵相关的重要公式、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初等矩阵的性质等。

三、特征值与特征向量

相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容——既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关性，“牵一发而动全身”。

本章知识要点如下：

1.特征值和特征向量的定义及计算方法就是记牢一系列公式和性质。

2.相似矩阵及其性质，需要区分矩阵的相似、等价与合同：

3.矩阵可相似对角化的条件，包括两个充要条件和两个充分条件。充要条件一是n阶矩阵有n个线性无关的特征值;二是任意r重特征根对应有r个线性无关的特征向量。

4.实对称矩阵及其相似对角化，n阶实对称矩阵必可正交相似于以其特征值为对角元素的对角阵。

四、二次型

这部分所讲的内容从根本上讲是特征值和特征向量的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵，必存在正交矩阵使其可以相似对角化”，其过程就是上一章相似对角化在为实对称矩阵时的应用。

这四个方面是历年考研数学线代部分的重点，希望考生以此为重点，由点及面，复习好线性代数这部分。

线性代数知识点归纳有哪些？

线性代数知识点归纳有线性方程组是线性代数的核心，线性方程组是一个或几个包含相同变量x1，x2，xn的线性方程组成的，方程组所有可能的解的集合称为线性方程组的解集。两个线性方程组若有相同的解集，则称为等价的。

线性方程组的解法思路是把方程组用一个更容易解的等价方程组（既有相同解集）代替、用方程序第一个含x1的项消去其他方程组x1的项，然后用第二个含x2的项消去其他含x2的项，以此类推，他有三个性质：倍加变换、对换变换、倍乘变换。

线性代数介绍

线性代数是关于向量空间和线性映射的一个数学分支，包括对线、面和子空间的研究，也涉及到所有向量空间的一般性质。

线性代数是纯数学和应用数学的核心，它的含义随着数学的发展而不断扩大，其理论和方法已经渗透到数学的许多分支，也成为理论物理和理论化学不可缺少的代数基础知识。

线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。

例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有n个未知量的一次方程称为线性方程。

关于变量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。

线性代数知识点总结

数学公式LaTeX公式

线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有 n个未知量的一次方程称为线性方程。变于关量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。

线性（linear）指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数

非线性（non-linear）则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。

行列式非零[图片上传失败...(image-954f75-1560909100556)] 矩阵可逆[图片上传失败...(image-93246c-1560909100555)] 方阵满秩[图片上传失败...(image-53ff6-1560909100556)] 向量组满秩（向量个数等于维数）。

矩阵的行列式，determinate（简称det），是基于矩阵所包含的行列数据计算得到的一个标量。是为求解线性方程组而引入的。

计算方式：对角线法则

计算方式：对角线法则

性质1 行列式与它的转置行列式相等

注：行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.

性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号

推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零

性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数k，等于用数k乘以此行列式.

推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．

性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．

性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则等于对应的两个行列式之和.

性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．

1）利用定义

2）利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值

定理中包含着三个结论：

1）方程组有解；（解的存在性）

2）解是唯一的；（解的唯一性）

3）解可以由公式(2)给出.

定理4 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的 .

定理4′ 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.

齐次线性方程组的相关定理

定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式D不等于0，则齐次线性方程组只有零解，没有非零解.

定理5′ 如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零.

1. 用克拉默法则解线性方程组的两个条件

2. 克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系．它主要适用于理论推导．

本节主要考虑如何用低阶行列式来表示高阶行列式.

行列式与矩阵加法的比较：

反对称矩阵(skew symmetric matrix)

分块矩阵不仅形式上进行转置，而且每一个子块也进行转置．

线性代数知识点整理

本文目录

1、线性系统Linear System

2、Vectors、Matrices

2.1 向量Vectors

2.2 矩阵Matrix

2.3 矩阵与向量相乘

3、线性方程组有解么？

3.1 线性方程组

3.2 线性组合Linear Combination

3.3 张成的空间Span

4、线性方程组有多少个解

4.1 线性相关和线性无关

4.2 秩Rank

5、求解线性方程组

5.1 初等行变换

5.2 简化行阶梯形式Reduced Row Echelon Form

5.3 满秩

6、矩阵乘法

6.1 矩阵乘法的含义

6.2 矩阵乘法的性质

6.3 分块矩阵乘法

7、逆矩阵

7.1 什么是矩阵的逆

7.2 初等矩阵

7.3 什么矩阵是可逆的？

7.4 求解一个矩阵的逆

8、行列式

8.1 什么是行列式？

8.2 行列式的性质

8.3 行列式的计算

9、子空间

9.1 子空间

9.2 零空间

9.3 列空间和行空间

10、基Basis

10.1 什么是基Basis

10.2 基的特性

10.3 判断一个集合是否为基

10.4 三种空间的基和维度

11、坐标系

11.1 使用基表示向量

11.2 直角坐标系和其他坐标系的转换

11.3 坐标系与线性方程

12、特征值和特征向量

12.1 什么是特征值和特征向量

12.2 如何计算特征向量

12.3 检查一个标量是否为特征值

12.4 计算特征值

12.5 正定矩阵半正定矩阵

13、对角化

13.1 可对角化

13.2 可对角化的性质

14、正交

14.1 范数和距离

14.2 点积和正交

14.3 正交补

14.4 正交投影

14.5 如何做正交投影

14.6 正交投影的应用-求解线性回归

14.7 正交基

14.8 正交矩阵

14.9 对称矩阵

15、奇异值分解

15.1 什么是奇异值分解？

1、线性系统Linear System

一个线性系统满足两个条件：Persevering Multiplication和Persevering Addition。

Persevering Multiplication

Persevering Addition

多元线性方程组是一个线性系统 。

2、Vectors、Matrices

2.1 向量Vectors

向量是一堆数的集合，分为列向量和行向量，本文中，向量默认是列向量，行向量用其转置表示。

向量与标量相乘 ，每一维都与该标量相乘：

向量相加 ，使用平行四边形法则：

零向量 ：所有维度的值都为0：

标准向量 ：一个维度是1，其余维度是0:

向量集 ：可以包含有限个或无限个向量：

Rn : 所有的n维向量组成的向量集合

2.2 矩阵Matrix

矩阵是一组向量：

如果矩阵有m行和n列，我们就说矩阵的大小为m*n，如果m=n，我们称为方阵（square matrix）。

矩阵的元素下标表示，先行后列：

矩阵与标量相乘 ：每一个元素分别与该标量相乘。

矩阵相加 ：两个矩阵的形状必须一致，同位置的元素分别相加。

零矩阵 ：所有元素均为0的矩阵。

单位矩阵Identity matrix ：必须是方阵，对角线元素为1，其余为0，用In表示n*n的单位矩阵。

同形状的矩阵的一些运算法则 ：

矩阵的转置 ：沿左上到右下的对角线为轴进行翻转，将(i,j)位置的元素与(j,i)位置的元素互换得到的矩阵，转置的矩阵用AT表示。

矩阵转置的一些运算规则 ：

2.3 矩阵与向量相乘

矩阵和向量相乘，结果如下：

从行的角度来看矩阵和向量相乘 ：从行的角度看，矩阵A和向量x相乘，其结果是矩阵的A的每一行与向量x做点积(dot product,后面再介绍) 的结果。

从列的角度来看矩阵和向量相乘 ：从列的角度看，矩阵A和向量x相乘，相当于对矩阵A的列向量做了一次线性组合。

因此，无论从行角度还是列角度，矩阵A的列数要与向量x的维数相同。

矩阵和向量相乘的一些性质 ：

如果A和B都是m*n的矩阵，对所有的w，如果都有Aw=Bw，那么是否意味着A=B。结果是显然的。既然是所有的w，那么我们用标准向量就可以得到A和B的每一列都是相同的，因此A=B。

3、线性方程组有解么？

3.1 线性方程组

对于一个线性方程组，我们可以写成矩阵和向量相乘的形式：

对于一个线性方程组，其解的情况可能是无解，有唯一解或者有无穷多个解。我们把所有的解的集合称为 解集(solution set)

如果线性方程组有解，我们就称其为 相容的(consistent) ，若无解，则称为 不相容的(inconsistent) 。

3.2 线性组合Linear Combination

线性组合是一个操作，将各个向量缩放之后，相加在一起，就得到了参与操作的向量之间的线性组合。

所以线性方程组的问题可以转变成：b是否可以表示成A中列向量的线性组合？

举几个例子：

通过观察上面的例子，你可能会想，在二维平面中，是不是只要两个向量不平行，就一定有解？答案是肯定的，但有解时两个向量不一定平行，因为目标向量也可能跟它们平行。

3.3 张成的空间Span

对于一个向量集S，其向量的所有线性组合组成的向量集V，称为 Span(S) ，也被称为 S张成的空间 。

举几个二维空间中的例子吧，如果S中只有零向量，那么其张成的空间也只有零向量。

如果S中包含一个非零向量，那么其张成的空间是一条直线：

如果一个向量集包含两个不平行的非零向量，那么其可以张成整个二维平面：

所以一个线性方程组的问题又可以转换成两一个等价的问题：向量b是否在A的列向量所张成的空间中？

4、线性方程组有多少个解

在上一节中，我们知道了如果b可以表示成A中列向量的线性组合或者b在A的列向量所张成的空间中，那么线性方程组有解，否则无解。但是，有解的情况下是唯一解还是多个解呢？我们还不知道。

4.1 线性相关和线性无关

给定一个向量集，如果其中一个向量可以表示成其余向量的线性组合，那么我们就说这组向量是 线性相关(Linear Dependent) 的。值得注意的是，零向量是任意向量的线性组合，因此只要包含零向量的向量集，都是线性相关的。

线性相关还有另一种定义，即可以找到一组非全零的标量，使得线性组合为零向量。

与之相对应，如果无法找到一组非全零的标量，使得线性组合得到零向量，那么这组向量就是 线性无关的(Linear Independent) ：

判断向量集是线性无关还是线性相关，其实就是看一个 齐次方程(Homogeneous Equations) 有无非零解：

由此，对于Ax=b，我们可以得到两个结论：如果A的列是线性相关的，且Ax=b有解，那么，它有无穷多个解；如果Ax=b有无穷多个解，那么A的列是线性相关的：

4.2 秩Rank

矩阵的秩(Rank) 定义为线性无关的列的最大数目：

矩阵的零化度(Nullity) 是矩阵的列数减去矩阵的秩：

也就是说，如果一个m*n的矩阵，其秩为n的话，它的列是线性无关的：

所以总结一下线性方程组的解的相关问题：

5、求解线性方程组

5.1 初等行变换

如果两个线性方程组的解集是相同的，我们就称它们是等价的(equivalent)。

对线性方程组做以下三种操作可以得到等价的方程组：

1）交换两行

2）对其中一行变为k倍

3）将一行的k倍加到另一行上

上面的三种操作我们也称为 初等行变换(elementary row operations)

这里我们介绍一下 增广矩阵(Augmented Matrix) ，即将A和b进行横向拼接：

因此，通过初等行变换，如果我们能够将增广矩阵转换为一个相对简单的形式，那么我们可以很快的得出最终的解。

5.2 简化行阶梯形式Reduced Row Echelon Form

我们首先介绍行阶梯形式的矩阵，它满足两个条件，首先是非零行要在全零行的上面，其 先导元素(leading entries，每行的第一个非零元素) 按阶梯型排列：

在上述两个条件的基础上，如果先导元素所在的列都是标准向量的话，那么它就是 简化行阶梯形式Reduced Row Echelon Form ：

下面的矩阵不是简化行阶梯形式：

而下面的矩阵是简化行阶梯形式：

根据简化行阶梯形式，我们很容易得到线性方程组的解的形式。

如果简化行阶梯形式是[I;b']的，那么线性方程组有唯一解：

下面的例子是有无穷多个解的情况，可以看到，第1、3、5列是包含先导元素的标准向量，其对应的变量也称为基本变量，而第2、4个变量被称为自由变量：

下面的例子是无解的情况，先导元素出现在了最后一列：

通过将增广矩阵化简为简约行阶梯形式，进而求解线性方程组解的方法，我们称之为 高斯消元法(Gaussian Elimination)

接下来，我们来看一下简约行阶梯型形式的一些性质：

(1)化简为简约行阶梯型形式之后，列之间的关系不变

也就是说， 初等行变换不改变矩阵中列之间的关系 。加入A的简约行阶梯形式是R，那么Ax=0和Rx=0有相同的解集。

但是对于行来说，行阶梯形式改变了行之间的关系，比如原先两行是两倍的关系，其中一行变为二倍之后，二者就相等了，关系自然改变了。

(2)简约行阶梯形式改变了矩阵列所张成的空间

举个简单的例子就能理解，假设一个矩阵是[[1,2],[2,4]]，它所张成的空间是y=2x，化简后得到[[1,0],[0,0]]，此时所张成的空间却是整个平面。但是没有改变行所张成的空间。

(3)先导元素所在的列线性无关，其他列是这些列的线性组合

先导元素所在的列，在原矩阵中被称为 主列(pivot columns) ,这些列是线性无关的，其他列可以有主列的线性组合得到。

(4) 矩阵的秩等于主列的个数，等于简约行阶梯型里非0行的个数

根据这个性质，我们可以得到矩阵的秩的一个性质：

Rank(A) = Min(Number of columns,Number of rows)

因为秩等于主列的个数，所以秩一定小于等于列的个数，因为秩等于简约行阶梯型中非零行的个数，所以秩一定小于等于矩阵行的个数。

有这个性质我们还可以得出两个简单的结论： 对于m*n的矩阵A，如果mn，那么矩阵A的列一定是线性相关的 和 在Rm空间中，无法找到多于m个线性无关的向量 。

所以我们再来回顾一下矩阵秩的判定，我们已经有多种得到矩阵秩的方式：

(5)当m*n的矩阵A的秩为m是，方程组Ax=b恒有解

对于增广矩阵来说，如果变为简约行阶梯型后先导元素出现在了最后一列，则无解。

什么情况下Ax=b恒有解呢？b是一个m*1的向量，也就是说矩阵A的列向量可以张成整个Rm空间，即A的秩为行数m，也就是A变成简约行阶梯型之后没有全0行。

(6)m个线性无关的m维向量可以张成整个Rm空间，Rm空间中多于m个向量的向量集一定线性相关

5.3 满秩

如果m*n的矩阵的秩为n或者m，那么说该矩阵为 满秩(Full Rank) 。

6、矩阵乘法

6.1 矩阵乘法的含义

给定两个矩阵A和B，其相乘结果中的元素(i,j)是矩阵A的第i行和矩阵B的第j列的内积，因此，矩阵A的列数一定要个矩阵B的行数相等。

矩阵乘法可以看作是两个线性方程的组合：

6.2 矩阵乘法的性质

(1) AB BA

(2)(AB)T= BTAT

(3)其他性质

(4)对角矩阵相乘

6.3 分块矩阵乘法

分块矩阵相乘和普通矩阵相乘其实是相同的：

7、逆矩阵

7.1 什么是矩阵的逆

如果两个方阵A和B的乘积是单位矩阵，AB=I，那么A和B就是互为逆矩阵。

一个矩阵是 可逆的(invertible) 的，必须满足两个条件，首先要是方阵，其次是可以找到另一个方阵B，使得AB=I。

并不是所有的方阵都是可逆的。同时，一个矩阵的逆矩阵是唯一的 ：

逆矩阵可以用来求解一个线性方程组，但这种方法要求A是一个方阵，同时在计算上并不是十分有效率的：

7.2 初等矩阵

我们之前介绍了三种初等行变换，其实初等行变换都可以用矩阵相乘表示，这种左乘的矩阵被称作 初等矩阵(Elementary Matrix) 。即单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。

既然左乘一个初等矩阵相当于对单位矩阵做一次初等行变换，那么只要再左乘一个相反操作的初等矩阵，就可以再次变回单位矩阵，所以初等矩阵的逆很容易得到：

回顾我们如何得到矩阵的简约行阶梯形式，用的就是初等行变换，因此我们可以用左乘初等矩阵的形式，来得到矩阵的简约行阶梯形式。

线性代数的基础知识点有哪些？

极大无关组的定义

设S是一个n维向量组,α1,α2,...αr 是S的一个部分组，如果

(1) α1,α2,...αr 线性无关；

(2) 向量组S中每一个向量均可由此部分组线性表示，

那么α1,α2,...αr 称为向量组S的一个极大线性无关组,或极大无关组。

（1）只含零向量的向量组没有极大无关组。

（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。

（3）极大线性无关组对于每个向量组来说并不唯一。但是每个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量。

(4) 齐次方程组的解向量的极大无关组为基础解系。